Algèbre abstraite
Loi binaire
Soit \(A\) un ensemble, une loi binaire sur \(A\) est une fonction \(A×A→A\). Les lois binaires sont souvent écrites avec une notation infixe : si \(*\) est le symbole de la loi, on écrira \(a*b\) plutôt que \(*(a,b)\).
On dit qu’une loi \(*:Α×A→A\) est
- Associative: si pour tout \(a,b,c∈A\) on a \((a*b)*c = a*(b*c)\) ;
- Commutative: si pour tout \(a,b∈A\) on a \(a*b=b*a\).
Exemples
- L’addition et la multiplication (d’entiers, de réels, …) sont des lois binaires.
Groupes
Un groupe est un ensemble \(G\) muni d’une loi binaire \(*\) tels que :
- \(*\) est associative ;
- il existe un élément \(e∈G\), dit élément neutre, tel que pour tout \(a∈G\) on a \(e*a=a*e=a\) ;
- pour tout \(a∈G\) il existe un \(b∈G\), dit l’inverse de \(a\), tel que \(a*b=b*a=e\).
Si en plus \(*\) est commutative, le groupe \(G\) est dit commutatif, ou abélien.
Notation
Souvent on se dispense de noter le symbole de la loi, on écrit alors \(ab\) pour \(a*b\). Dans ce cas on dit que la loi de groupe est notée multiplicativement. On peut parfois noter \(a·b\) lorsque la lecture serait ambiguë.
Pour une loi multiplicative, on note \(a^{-1}\), ou parfois \(1/a\), l’inverse de \(a\) ; on note \(a^n\) l’élément
\[a^n = \underbrace{aa\cdots a}_{n\text{ fois}}.\]Lorsque la loi de groupe est notée \(+\), on dit qu’elle notée additivement. L’usage veut qu’on utilise la notation additive uniquement pour les lois coummutatives. On note alors \(-a\) l’inverse de \(a\) (et on l’appelle parfois opposé) ; on note \(na\), ou \(n·a\), ou encore \([n]a\) l’élément
\[na = \underbrace{a+a+\cdots +a}_{n\text{ fois}}.\]Exemples
- \((ℤ,+)\), \((ℚ,+)\), \((ℝ,+)\) et \((ℂ,+)\) sont tous des groupes abéliens.
- \((ℕ,+)\) n’est pas un groupe : tous les éléments n’ont pas d’opposé.
- \((ℤ,×)\) n’est pas un groupe : tous les éléments n’ont pas d’inverse.
- \((ℚ,×)\), \((ℝ,×)\) et \((ℂ,×)\) ne sont pas des groupes, mais si on leur enlève le 0 ils deviennent des groupes abéliens.
- \((\mathcal{S}_n,\circ)\), l’ensemble des permutations sur \(n\) éléments muni de l’opération de composition, est un groupe non-abélien.
Anneaux, corps
Un anneau est un ensemble \(A\) muni de deux lois binaires, notées \(+\) et \(·\), telles que :
- \((A,+)\) est un groupe abélien, dont on notera 0 l’élément neutre ;
- \(·\) est associative ;
- il existe un élément de \(A\), noté 1, tel que pour tout \(a∈A\) on a \(1·a=a·1=a\) ;
- \(·\) distribue sur \(+\), c’est à dire que pour tout \(a,b,c∈A\) on a \(a·(b+c)=(a·b)+(a·c)\).
Un anneau tel que \(·\) est commutative est dit un anneau commutatif.
Un corps est un anneau commutatif dont tous les éléments, à l’exception de 0, ont un inverse multiplicatif.
Exemples
- \(ℤ\), \(ℚ\), \(ℝ\) et \(ℂ\) sont des anneaux commutatifs. Parmi eux, \(ℤ\) est le seul qui ne soit pas aussi un corps.
- L’ensemble \(\mathcal{M}_n(ℤ)\) des matrices carrées \(n×n\) à coefficients dans \(ℤ\) est un anneau non-commutatif. Les matrices carrées à coefficients dans \(ℚ\), \(ℝ\), ou \(ℂ\) forment aussi des anneaux non-commutatifs.
Anneaux d’entiers modulaires
Pour un entier \(n\), l’ensemble \(\{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \dots, \overline{n-1}\}\) est noté \(\mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}\). Par la suite, pour ne pas alourdir la notation, on désignera chaque classe d’équivalence \(\bar{a}\) par un de ses représentants. Par défaut, on choisit le représentant canonique (l’unique représentant compris entre 0 et \(n-1\) et ayant comme reste \(a\)), et on écrira alors cet ensemble comme \(\mathbb{Z}/ n\mathbb{Z} = \{0, 1, 2, \dots, n-1\}.\)
On va munir cet ensemble de deux opérations, l’addition \(+\) et la multiplication \(\times\):
- \(+\) Pour tout \(a,b \in \mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}\), \(a + b := a + b \mod{n}\)
- \(\times\) Pour tout \(a,b \in \mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}\), \(a \times b := a \times b \mod{n}\)
On peut vérifier que \(ℤ/nℤ\) a une structure d’anneau et que cet anneau est commutatif. Il est un corps si et seulement si \(n\) est premier.