Algèbre abstraite

Loi binaire

Soit un ensemble, une loi binaire sur est une fonction . Les lois binaires sont souvent écrites avec une notation infixe : si est le symbole de la loi, on écrira plutôt que .

On dit qu’une loi est

Exemples

Groupes

Un groupe est un ensemble muni d’une loi binaire tels que :

Si en plus est commutative, le groupe est dit commutatif, ou abélien.

Notation

Souvent on se dispense de noter le symbole de la loi, on écrit alors pour . Dans ce cas on dit que la loi de groupe est notée multiplicativement. On peut parfois noter lorsque la lecture serait ambiguë.

Pour une loi multiplicative, on note , ou parfois , l’inverse de  ; on note l’élément

Lorsque la loi de groupe est notée , on dit qu’elle notée additivement. L’usage veut qu’on utilise la notation additive uniquement pour les lois coummutatives. On note alors l’inverse de (et on l’appelle parfois opposé) ; on note , ou , ou encore l’élément

Exemples

Anneaux, corps

Un anneau est un ensemble muni de deux lois binaires, notées et , telles que :

Un anneau tel que est commutative est dit un anneau commutatif.

Un corps est un anneau commutatif dont tous les éléments, à l’exception de 0, ont un inverse multiplicatif.

Exemples

Anneaux d’entiers modulaires

Soit , l’anneau des entiers modulo est la classe d’équivalence de par la relation

Les lois et sont héritées des lois de après réduction par (voir exercice en TD).

On note cet anneau (commutatif). Il est un corps si et seulement si est premier.

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