Entiers de Peano
Vers la fin du XIX siècle les mathématiciens ont commencé s’interroger sur les fondements des mathématiques, et en particulier sur la possibilité de ramener toutes les mathématiques à un nombre restreint d’axiomes. Les axiomes de Peano ont été introduits par le mathématicien italien Giuseppe Peano afin de modéliser les entiers naturels. Il s’agit de neuf axiomes qui formalisent les propriétés des nombres représentés en unaire.
Les axiomes
Les axiomes de Peano définissent ce que c’est un nombre naturel et ce que c’est que le successeur d’un nombre. Le premier axiome affirme l’existence d’un entier naturel (qu’on identifie avec le nombre zéro).
Axiome 1 : \(0\) est un nombre naturel.
Les axiomes suivants affirment que l’égalité est une relation d’équivalence.
Axiome 2 : Pour tout nombre naturel \(n\), \(n = n\).
Axiome 3 : Pour tous nombres naturels \(n\) et \(m\), si \(n = m\) alors \(m = n\).
Axiome 4 : Pour tous nombres naturels \(n\), \(m\) et \(p\), si \(n = m\) et \(m = p\) alors \(n = p\).
Axiome 5 : Pour tout nombre naturel \(n\), si \(n = m\) alors \(m\) est un nombre naturel.
L’axiome suivant introduit le concept de successeur, ce qui est représenté par une fonction \(S\). De cette façon les nombres naturels sont définis récursivement comme une suite d’application de la fonction successeur au nombre \(0\).
Axiome 6 : Pour tout nombre naturel \(n\), \(S(n)\) est un nombre naturel.
Dans le système de Peano, les nombres sont ainsi représentés en unaire : \(0\) est le nombre zéro, \(S(0)\) son successeur, c’est à dire le nombre un, \(S(S(0))\) le nombre deux et ainsi de suite.
Note : Pour une meilleure lisibilité, il est courant d’écrire la fonction \(S\) sans les parenthèses, ainsi dans la suite le nombre trois sera représenté par \(SSS0\).
Les deux axiomes suivants imposent des contraintes suffisantes pour que la fonction \(S\) corresponde exactement au concept de successeur.
Axiome 7 : Pour tout nombre naturel \(n\), \(Sn\) n’est pas égal à 0.
Axiome 8 : Pour tous nombres naturels \(n\) et \(m\), si \(Sn = Sm\) alors \(n = m\).
Enfin, le dernier et plus important axiome, l’axiome d’induction, permet d’affirmer qu’il n’y a pas d’autres nombres naturels que ce qu’on construit à l’aide de la fonction \(S\).
Axiome 9 : Si \(A\) est un ensemble tel que
- il contient \(0\) et
- pour tout nombre naturel \(n\), si \(n\) est dans \(A\) alors \(S(n)\) est dans \(A\),
alors \(A\) contient tous les nombres naturels.
En plus de restreindre la définition de nombre naturel, ce dernier axiome entre en jeu dans la quasi-totalité des preuves concernant les nombres naturels.
Formalisation en calcul des prédicats
La formalisation des axiomes ci-dessus dans le langage du Calcul des prédicats et immédiate, mais elle comporte une subtilité concernant l’axiome d’induction. En particulier, la question de savoir si les axiomes de Peano sont corrects et s’ils sont suffisants a prouver toutes les propriétés des entiers pose pas mal de problèmes. Allez voir Logique mathématique.
Définition des opérations arithmétiques
À partir des axiomes, il est possible de définir les opérations arithmétiques usuelles sur les entiers. Il va s’agir, bien sûr, de définitions récursives.
On commence par l’addition :
- Si \(n\) est un nombre, \(n + 0 = n\),
- Si \(n\) et \(m\) sont deux nombres, \(n + Sm = S(n + m)\).
On peut ensuite définir la multiplication :
- Si \(n\) est un nombre, \(n \times 0 = 0\),
- Si \(n\) et \(m\) sont deux nombres, \(n \times Sm = n + (n \times m)\).
Et l’ordre
- Pour tous nombres \(n\) et \(m\), \(n \le m\) si et seulement s’il existe un nombre \(p\) tel que \(n + p = m\).
À partir de ces définitions, on peut définir la soustraction et la division comme les inverses de l’addition et de la division, et grâce à cela définir les entiers relatifs et les nombres rationnels.