Équivalence

Une équivalence est une relation ayant des propriétés similaires à celles de l’égalité. Étant donné une relation d’équivalence sur un ensemble , on peut regrouper les éléments de en classes d’équivalence qui forment les éléments d’un ensemble (dit ensemble quotient) où la relation se réduit à l’identité.

Définitions et notations

Formellement, une équivalence d’un ensemble est une relation réflexive, symétrique et transitive.

Pour un élément , on appelle classe d’équivalence de , noté ou , l’ensemble des éléments tels que . Il s’agit d’un sous-ensemble de et il n’est jamais vide (car il contient au moins ). Un élément est appelé un représentant de la classe .

L’ensemble de toutes les classes d’équivalence de par la relation est appelé l’ensemble quotient de par et est noté . La fonction qui à chaque associe sa classe d’équivalence est appelé la surjection canonique de dans l’ensemble quotient.

Excercice: Démontrer que la surjection canonique est effectivement surjective. Démontrer qu’elle est totale. Donner un exemple d’équivalence pour laquelle elle n’est pas injective.

Exemples

Réduction modulo un entier

Pour un fixé, la relation est une relation d’équivalence. Le reste de la division Euclidienne par est compris entre et , du coup il y a exactement classes d’équivalence:

L’ensemble quotient est habituellement noté , il est égal à

Souvent, lorsque il est clair du contexte qu’on parle des éléments de , on abuse de la notation et on écrit à la place de .

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