Fonction

Une fonction est une loi qui associe à chaque élément d’un ensemble A un unique élément d’un ensemble B.

Définition et notation

Une fonction d’un ensemble vers un ensemble est une relation entre les deux ensembles telle que à tout élément de correspond un seul élément de . On note cela

et pour tout élément on écrit ou pour indiquer que la fonction associe à .

L’ensemble de départ est appelé le domaine ou la source de , tandis que l’ensemble est appelé le codomaine ou le but de .

Graphiquement, une fonction peut être représentée par des diagrammes de Venn à l’aide de flêches du domaine vers le codomaine, comme dans le dessin suivant:

Fonctions partielles

Une fonction partielle de vers est une relation entre les deux ensembles telle que à tout élément de correspond au plus un élément de . Voici un exemple graphique:

Parfois on appelle simplement “fonction” une fonction parielle; lorsque on veut souligner qu’une fonction n’est pas partielle on dit qu’elle est totale.

Nota bene: Suivant l’usage Bourbakiste, en français, surtout au lycée, on appelle fonction une fonction partielle et application une fonction totale. Dans ce cours, cependant, nous préférerons la convention anglophone que nous avons utilisée jusqu’ici. Allez voir ce bref historique pour en savoir plus sur l’histoire de ces concepts.

Composition

Si et sont deux fonctions (totales ou pas), on définit la composée de avec , notée comme étant la fonction

Si et sont totales, l’est aussi.

Image, Image inverse, Fibre

Soit une fonction telle que pour un et un . L’élément est appelé l’image de ; l’élément est appelé une préimage (ou un antécédent) de . Notez que l’image est nécessairement unique, alors que la préimage ne l’est pas.

L’ensemble des éléments de qui sont image d’un élément quelconque de est appelé l’image de :

Plus généralement, si est un sous-ensemble de , l’image de par , noté , est l’ensemble des éléments de qui sont image d’un élément de :

On a donc .

L’image inverse d’un sous-ensemble de , noté est l’ensemble des éléments de qui sont préimage d’un élément de :

L’image inverse de tout entier est aussi appelée l’image inverse de . La fibre d’un élément est l’image inverse de l’ensemble ; on peut l’écrire ou, par abus de notation, .

Graphe

Formellement, le graphe d’une fonction est le sous-ensemble de du produit cartésien défini comme suit:

Le graphe d’une fonction est une relation fonctionnelle.

Dessiner le graphe d’une fonction dans le plan Cartésien

Le graphe d’une fonction peut être représenté par des diagrammes de Venn tout comme sa fonction. Cependant, tout le monde est familier avec une autre technique de représentation plus adaptée aux fonctions sur des ensembles infinis.

Le graphe d’une fonction est un sous-ensemble de . Le plan Cartésien est une représentation de : à chaque couple correspond un unique point du plan.

Le graphe de la fonction est donc constitué de l’ensemble des points du plan Cartésien tels que .

Cette représentation n’est pas limitée aux fonctions de vers . Elle s’applique de façon naturelle à toute fonction dont le domaine et le codomaine sont totalement ordonnés.

Graphe de la fonction identité sur les naturels Cette image a été crée par Singh, S. (2007, October 26). Functions. Téléchargée du site Connexions.

Propriétés

On a déjà parlé de fonctions totales et partielles. Il existe d’autres propriétés d’intérêt pour une fonction.

Injectivité, surjectivité, bijectivité

Une fonction est dite:

Voici un exemple graphique:

Inverse

Si est une fonction bijective, la fibre de chaque élément de est réduite à un seul élément. On définit alors la fonction inverse comme étant la fonction qui associe à chaque élément son unique préimage dans .

Le graphe de est le réciproque du graphe de .

On a le propriétés suivantes (où dénote la fonction identité, c’est à dire la fonction qui à tout associe lui-même):

Excercice: Démontrer ces propriétés.

Plus généralement, si on s’intéresse aux fonctions partielles, il suffit de supposer que est injective pour pouvoir définir son inverse. La définition est identique:

Dans ce sens, l’inverse d’une fonction totale n’est pas nécessairement totale.

Exercice: Dire lesquelles des propriétés précédentes sont encore vérifiées par l’inverse d’une fonction partielle.

Exemples

Excercice: Dessiner le graphe de ces fonctions et de leurs inverses. Que constatez-vous? Expliquez.

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