Entiers, changements de bases
Rappels sur l’exponentielle et le logarithme
Simplifier les expressions suivantes :
- \(a^3\times a^4\).
- \((a^3)^4\).
- \(a^2 \times \frac{1}{a^3}\).
- \(6^6 \times \left(\frac{1}{3}\right)^6\).
- \(\log_a a^{10}\).
- \(\log_2 64\).
- \(\log_2 a + \log_4 a\).
- \(a^{\log_a 11}\).
Conversions de base
Faire les conversions de bases suivants :
- \((101010)_2\) en base 10.
- \((1021)_3\) en base 10.
- \((483)_{10}\) en binaire, puis en ternaire.
- \((111100011)_2\) en hexadécimal.
- \((A31B)_{16}\) en base 2.
- \((10212)_3\) en base 9.
Calculer, sans passer par la base 10, les expressions suivantes :
- \((102013)_4 + (1)_4\).
- \((102013)_4 \times (4)_{10}\).
- \((102013)_4 \div (4)_{12}\).
- \((101011)_2 + (2A)_{16}\).
- \((10110)_2 + (111)_2\).
- \((10110)_2 \times (101)_2\).
- \(\bigl((100)_2\bigr)^4\).
Propriétés des représentations en base \(b\)
- Quel est le nombre le plus grand que l’on puisse représenter avec \(2\) chiffres binaires ? Et avec \(3, 4, \dots\) ? Et en général avec \(n\) chiffres ?
- Pour un entier \(m\) quelconque, combien de chiffres binaires faut-il pour le représenter ?
- Généraliser à une base \(b\) quelconque.
- Sans effectuer la conversion, dire combien de chiffres binaires il faut pour représenter le nombre quarante-deux.
- Combien faut-il de chiffres hexadécimaux pour représenter le nombre quarante-deux ?