Ensembles et fonctions

Ensembles

Opérateurs

On considère un univers \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\). Étant donnés les ensembles suivants

\[A = \{1, 2, 3, 4\},\; B = \{4, 5, 6, 7\},\; C = \{1, 3, 5, 7\},\; D = \{2, 3, 4, 5, 6\},\]

calculer

  1. \(\overline{A}, A \cup C, \overline{A \cup C}, A \cap C, \overline{A \cap C}\),
  2. \((A \cap B) \cup (C \cap D), (A \cup C) \cap (B \cup D)\),
  3. \(A \backslash D, D \backslash A\).

Diagrammes de Venn

On suppose que \(A \cup B = B \cap C\) et que \(C\subset E\). Dessiner les diagrammes de Venn de \(A\), \(B\), \(C\) et \(E\).

Comparer les diagrammes de Venn

  1. de \(\overline{A\cup B}\) et \(\overline{A}\cap\overline{B}\);
  2. de \(\overline{A\cap B}\) et \(\overline{A}\cup\overline{B}\).

Ensembles et calcul des propositions

Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois ensembles dans un univers \(U\). Démontrer les propriétés suivantes.

  1. La distributivité: \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\).

  2. Les lois de de Morgan: \(\overline{A\cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\) et \(\overline{A\cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\).

  3. \(A \backslash B = A \cap \overline{B}\).

  4. \(A \cup B = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)\).

  5. \(A \cap B = A \cap C\) si et seulement si \(A \cap \overline{B} = A \cap \overline{C}\).

Fonctions

Rappel: Si \(f:A\to B\) est une fonction, et si \(C\subset B\) est un sous-ensemble de \(B\), on note \(f^{-1}(C)\) l’image inverse de \(C\) par \(f\), c’est à dire l’ensemble des \(x\in A\) tels que \(f(x)\in C\).

Soit \(f : E\to F\) une fonction. Soient \(A\) et \(B\) des sous-ensembles de \(E\) et soient \(C\) et \(D\) des sous-ensembles de \(F\). A-t-on nécessairement:

  1. \(f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)\),
  2. \(f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)\),
  3. \(f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)\),
  4. \(f^{-1}(C \cup D) = f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)\),
  5. \(f^{-1}(f(A)) = A\),
  6. \(f(f^{-1}(C)) = C\).

Justifier chaque cas par une preuve ou par un contre-exemple.

Injectivité et surjectivité

Rappel: si \(n\) est un nombre réel, la notation \(\lfloor n\rfloor\) désigne la partie entière inférieure de \(n\), c’est à dire le plus grand entier plus petit ou égal à \(n\). La notation \(\lceil n\rceil\) désigne la partie entière supérieure de \(n\), c’est à dire le plus petit entier plus grand ou égal à \(n\).

Déterminer si les fonctions suivantes sont injectives, surjectives ou aucune des deux.

  1. \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) définie par \(f(n) = \lfloor\frac{n}{2}\rfloor\).

  2. \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) définie par \(f(n) = 2n\).

  3. \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{Z}\) définie par \(f(n) = (-1)^n\lceil\frac{n}{2}\rceil\).

  4. \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) définie par \(f(x) = x + 1\).

  5. \(f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) définie par \(f(x) = x + 1\).

Interpréter les phrases suivantes en terme d’injectivité et de surjectivité.

  1. Il existe des nombres entiers relatifs (i.e., dans \(\mathbb{Z}\)) différents qui ont le même carré.
  2. Tout nombre réel positif a une racine carrée.
  3. Le nombre 3 n’est le sinus d’aucun nombre.
  4. Un nombre complexe est caractérisé par ses parties réelle et imaginaire.

Rappel: Si \(f:A\to B\) et \(g:B\to C\) sont deux fonctions, on note \(g\circ f\) la composée de \(g\) et de \(f\), i.e. la fonction \(g\circ f:A\to C\) définie par \(g\circ f(x) = g(f(x))\).

Soient \(f : A \to B\) et \(g : B \to C\) deux fonctions et \(h = g \circ f\). Montrer les propositions suivantes.

  1. Si \(h\) est surjective alors \(g\) est surjective.
  2. Si \(h\) est injective alors \(f\) est injective.
  3. Si \(h\) est injective et \(f\) est surjective alors \(g\) est injective.
  4. Si \(h\) est surjective et \(g\) est injective alors \(f\) est surjective.

Les implications réciproques sont-elles vraies ?

Ensembles et induction

Soient \(A\) et \(B\) des ensembles finis, et soit \(f : A \to B\) une fonction. Prouver que

  1. Si \(f\) est injective, alors \(|A| \le |B|\);  
  2. Si \(f\) est surjective, alors \(|A| \ge |B|\).  

Soit \(f : E \to E\) une fonction. On définit par récurrence les applications \(f^n\) par \(f^1 = f\) et \(f^n = f \circ f^{n-1}\).

  1. On suppose que \(f\) est injective. Montrer que pour tout entier \(n\), \(f^n\) est injective.
  2. On suppose que \(f\) est surjective. Montrer que pour tout entier \(n\), \(f^n\) est surjective.
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