Ensembles et fonctions

Ensembles

Opérateurs

On considère un univers . Étant donnés les ensembles suivants

calculer

  1. ,
  2. ,
  3. .

Diagrammes de Venn

On suppose que et que . Dessiner les diagrammes de Venn de , , et .


Comparer les diagrammes de Venn

  1. de et ;
  2. de et .

Ensembles et calcul des propositions

Soient , , trois ensembles dans un univers . Démontrer les propriétés suivantes.

  1. La distributivité: .

  2. Les lois de de Morgan: et .

  3. .

  4. .

  5. si et seulement si .

Fonctions

Rappel: Si est une fonction, et si est un sous-ensemble de , on note l’image inverse de par , c’est à dire l’ensemble des tels que .

Soit une fonction. Soient et des sous-ensembles de et soient et des sous-ensembles de . A-t-on nécessairement:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. .

Justifier chaque cas par une preuve ou par un contre-exemple.

Injectivité et surjectivité

Rappel: si est un nombre réel, la notation désigne la partie entière inférieure de , c’est à dire le plus grand entier plus petit ou égal à . La notation désigne la partie entière supérieure de , c’est à dire le plus petit entier plus grand ou égal à .

Déterminer si les fonctions suivantes sont injectives, surjectives ou aucune des deux.

  1. définie par .

  2. définie par .

  3. définie par .

  4. définie par .

  5. définie par .


Interpréter les phrases suivantes en terme d’injectivité et de surjectivité.

  1. Il existe des nombres entiers relatifs (i.e., dans ) différents qui ont le même carré.
  2. Tout nombre réel positif a une racine carrée.
  3. Le nombre 3 n’est le sinus d’aucun nombre.
  4. Un nombre complexe est caractérisé par ses parties réelle et imaginaire.

Rappel: Si et sont deux fonctions, on note la composée de et de , i.e. la fonction définie par .

Soient et deux fonctions et . Montrer les propositions suivantes.

  1. Si est surjective alors est surjective.
  2. Si est injective alors est injective.
  3. Si est injective et est surjective alors est injective.
  4. Si est surjective et est injective alors est surjective.

Les implications réciproques sont-elles vraies ?

Ensembles et induction

Soient et des ensembles finis, et soit une fonction. Prouver que

  1. Si est injective, alors ;  
  2. Si est surjective, alors .  

Soit une fonction. On définit par récurrence les applications par et .

  1. On suppose que est injective. Montrer que pour tout entier , est injective.
  2. On suppose que est surjective. Montrer que pour tout entier , est surjective.
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