Arithmétique modulaire

Définition

Rappel : On dit définit la relation d’équivalence modulo par

On note la classe d’équivalence de modulo , ou simplement lorsque cela est clair du contexte.

  1. Montrer qu’il s’agit bien d’une relation d’équivalence.

  2. Donner la classe d’équivalence de .

  3. Lesquelles des égalités suivantes sont vraies ? Lesquelles sont fausses ?

  4. Montrer que la définition est équivalente à

  5. Montrer que pour , la définition est équivalente à

  6. Soit un entier quelconque, montrer les deux propriétés suivantes:

    • Si alors pour tout entier on a ,
    • Si alors pour tout entier on a .

Structure additive

  1. Calculer un représentant pour les sommes suivantes

  2. Calculer un représentant pour les produits suivants

  3. Calculer les tables d’addition et de multiplication de . A quels opérateurs du calcul des propositions correspondent-elles ?

  4. Calculer les tables d’addition et de multiplication de .

  5. Calculer le résultat des expressions suivantes

Structure multiplicative

Voici la table de multiplication de . À partir de maintenant on va arrêter d’écrire partout: lorsque le module est clair du contexte, on se contentera d’écrire , plutôt que .

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2 0 2 4 6 8 10 12 14 1 3 5 7 9 11 13
3 0 3 6 9 12 0 3 6 9 12 0 3 6 9 12
4 0 4 8 12 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11
5 0 5 10 0 5 10 0 5 10 0 5 10 0 5 10
6 0 6 12 3 9 0 6 12 3 9 0 6 12 3 9
7 0 7 14 6 13 5 12 4 11 3 10 2 9 1 8
8 0 8 1 9 2 10 3 11 4 12 5 13 6 14 7
9 0 9 3 12 6 0 9 3 12 6 0 9 3 12 6
10 0 10 5 0 10 5 0 10 5 0 10 5 0 10 5
11 0 11 7 3 14 10 6 2 13 9 5 1 12 8 4
12 0 12 9 6 3 0 12 9 6 3 0 12 9 6 3
13 0 13 11 9 7 5 3 1 14 12 10 8 6 4 2
14 0 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
  1. Quel est l’inverse (multiplicatif) de 2, 4, 7 ?

  2. Trouver un élément qui n’a pas d’inverse multiplicatif. est-il un corps ?

  3. Combien d’éléments contient (le groupe des éléments inversibles de ) ?

  4. Calculer , et .

Corps finis

  1. Calculer la table de multiplication de . Quels sont les éléments inversibles ? est-il un corps ?

  2. Calculer toutes les puissances de .

  3. Montrer que si , alors est un diviseur de zéro.

  4. Montrer que un élément est inversible si et seulement s’il n’est pas un diviseur de zéro.

  5. Montrer que est un corps si et seulement si est premier.

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