Algorithme d'Euclide étendu, Théorème de Bézout

Anneaux

Soit un anneau et soit un ensemble non-vide. On note l’ensemble des fonctions de dans .

Si , on définit la somme et le produit par les équations

est un anneau.

Algorithme d’Euclide

  1. Montrer que si et sont deux entiers tels que , alors

  2. Calculer le pgcd de et .

Algorithme d’Euclide étendu

Soient et

  1. Calculer le pgcd en utilisant l’algorithme d’Euclide.
  2. Calculer tels que .
  3. Calculer l’inverse de modulo .

Faire le même exercice avec et .

Éléments inversibles

  1. Énumérer tous les éléments inversibles de

  2. Énumérer tous les éléments inversibles de

  3. Montrer que si et sont deux éléments inversibles dans , alors l’élément est également inversible.

  4. Montrer que l’ensemble des éléments inversibles de est un groupe pour la multiplication.

Petit théorème de Fermat

Le petit théorème de Fermat s’annonce comme suit: Si est un nombre premier et un entier qui n’est pas divisible par , alors

On utilisera ce résultat sans preuve.

  1. Calculer l’aide du petit théorème de Fermat :
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