Révision sur les matrices

Produits matrice-vecteur

Calculer les produits matrice-vecteur suivants.

1. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\\ 10 & 11 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}\),

2. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10\\-7\\4 \end{pmatrix}\),

3. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3\\-1\\4 \end{pmatrix}\).

Produits matrice-matrice

Calculer les produits matrice-matrice suivants

1. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\),

2. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\).

Forme échelonnée

Mettre les matrices suivantes sous forme échelonnée

1. \(\begin{pmatrix} 3 & 1 & -4 & 0 & 5\\ 2 & 0 & 0 & -1 & 9\\ 0 & -5 & 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}\),

2. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0 & 0\\ 4 & 2 & 1 & 0\\ 8 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}\).

Systèmes linéaires

Résoudre les systèmes linéaires suivants.

1. \(\left\{\begin{array}{rrrl} 3x &+ y &- 4z &= 12\\ & 2y &- z&= -1\\ &&3z &= 6 \end{array}\right.\),

2. \(\left\{\begin{array}{rrrl} x &+ y &+ z &= 3\\ 2x &+ 7y &- 2z &= -1\\ -x &- y &+ z &= 3 \end{array}\right.\),

3. \(\left\{\begin{array}{rrrrl} t &+ x &+ y &+ z &= 1 \\ 2t &+ x &+ 3y &+ z &=7 \\ 2t &+ 2x &+ y &+ 2z &=7 \end{array}\right.\),

4. \(\left\{\begin{array}{rrrl} x &+ y &+ 2z &= 4\\ &y &-z &= -2\\ -2x &-2y &-4z &= -1 \end{array}\right.\).

Matrices à coefficients modulaires

1. Calculer le produit matrice-vecteur suivant à coefficients dans \(ℤ/3ℤ\) (c’est à dire que tous les calculs s’effectuent modulo 3).

   \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1 & -1\\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0\\-1\\-1 \end{pmatrix}\).

2. Calculer le produit matrice-matrice suivant à coefficients dans \(ℤ/2ℤ\).

   \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix}\).