Inversion de matrices

Formules de Cramer

1. Calculer à l’aide des formules de Cramer la solution des systèmes linéaires suivants.

   \(\left\{\begin{array}{rrrl} 3x &+ y &- 4z &= 12\\ & 2y &- z&= -1\\ &&3z &= 6 \end{array}\right.\),

   \(\left\{\begin{array}{rrrl} x &+ y &+ z &= 0\\ 2x &+ 7y &- 2z &= -1\\ -x &- y &+ z &= 0 \end{array}\right.\),

   \(\left\{\begin{array}{rrrl} x & &+ 2z &= 3\\ x &+ y &- z &= -1\\ x &+ 2y &+ 3z &= 0 \end{array}\right.\).

2. Calculer à l’aide des formules de Cramer l’inverse des matrices suivantes.

   \[\begin{pmatrix} 0 & -2\\ -1 & 3 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 4 & 4 & -1\\ -4 & 1 & 0\\ 3 & 7 & -2 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.\]

Méthode de Gauss-Jordan

Calculer par la méthode de Gauss-Jordan l’inverse des matrices suivantes.

\[\begin{pmatrix} 0 & -2\\ -1 & 3 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 4 & 4 & -1\\ -4 & 1 & 0\\ 3 & 7 & -2 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1\\ -1 & -1 & -1 & 1\\ -1 & -2 & 2 & 2\\ 2 & 3 & 2 & -2 \end{pmatrix}.\]