TD1 – Ensembles et cardinalité

Ensembles

Opérateurs

On considère un univers . Étant donnés les ensembles suivants

calculer

  1. ,
  2. ,
  3. .

Fonctions

Rappel: Si est une fonction, et si est un sous-ensemble de , on note l’image inverse de par , c’est à dire l’ensemble des tels que .

Fonctions et ensembles

Soit une fonction totale (une application). Soient et des sous-ensembles de et soient et des sous-ensembles de . A-t-on nécessairement:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. .

Justifier chaque cas par une preuve ou par un contre-exemple.

Injectivité et surjectivité

Rappel: si est un nombre réel, la notation désigne la partie entière inférieure de , c’est à dire le plus grand entier plus petit ou égal à . La notation désigne la partie entière supérieure de , c’est à dire le plus petit entier plus grand ou égal à .

Rappel: Si et sont deux fonctions, on note la composée de et de , i.e. la fonction définie par .

Cardinalité

Ensembles finis

Rappel : On note l’ensemble des parties de , c’est à dire l’ensemble de tous les sous-ensembles de .

Esnembles infinis

  1. Montrez que est dénombrable.

  2. Montrez que est dénombrable.

  3. Montrez que est dénombrable, en utilisant le fait que tout rationnel est de la forme , avec et .

  4. Montrez que pour tout entier naturel , est dénombrable.

  5. Montrez que si et , alors .

  6. Montrez que .

  7. On note l’ensemble des parties finies de . Quel est le cardinal de  ?

Argument diagonal de Cantor

  1. On note l’ensemble des parties infinies de . est-il dénombrable ?

  2. En raisonnant par l’absurde, et en utilisant l’écriture décimale d’un réel, montrer que n’est pas dénombrable.

Nombres algébriques