Calcul de l'inverse d'une matrice
Inversibilité d’une matrice
Théorème. Une matrice \(A\in M_n(\mathbf{K})\) est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. De plus, si \(A\) est inversible, alors \(\det(A^{-1}) = 1/\det(A)\).
On peut facilement montrer un sens du théorème. On suppose que \(A\) est inversible. Alors on a:
\[1 = \det(I_n) = \det(A A^{-1}) = \det(A) \det(A^{-1}),\]donc \(\det(A) \neq 0\) et en plus on voit directement que \(\det(A^{-1}) = 1/\det(A)\).
Calcul de la matrice inverse
Nous allons présenter deux méthodes différentes pour calculer l’inverse d’une matrice carrée : la méthode de Cramer et la méthode de Gauss-Jordan.
Méthode de Cramer pour l’inversion
Soit \(A = [a_{ij}]\) une matrice de \(M_n(\mathbf{K})\). On note \(A_{ij}\) la matrice obtenue en effaçant la ligne \(i\) et la colonne \(j\) de \(A\).
La comatrice de \(A\) est la matrice de \(M_n(\mathbf{K})\), notée \(\text{Com } A\), dont le coefficient à l’intersection de la ligne \(i\) et la colonne \(j\) est \((-1)^{i+j} \det(A_{ij})\).
Exemple. Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) alors
\[\text{Com } A = \begin{pmatrix} \det(A_{11}) & -\det(A_{12}) & \det(A_{13}) \\ -\det(A_{21}) & \det(A_{22}) & -\det(A_{23}) \\ \det(A_{31}) & -\det(A_{32}) & \det(A_{33}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}.\]Proposition. Si \(A\in M_n(\mathbf{K})\) alors on a
\[(\text{Com }A)^t A = A^t(\text{Com }A) = (\det A) I_n.\]Corollaire. Si \(A\) est une matrice inversible de \(M_n(\mathbf{K})\), alors on a
\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} (\text{Com }A)^t.\]Démonstration. D’après la proposition précédente, nous avons
\[(\text{Com }A)^t A = (\det A) (A^{-1}A) \Leftrightarrow (\text{Com }A)^t = (\det A)(A^{-1}),\]donc
\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} (\text{Com }A)^t.\]Exemple (suite). Calculons l’inverse de la matrice précédente. On calcule d’abord le déterminant de \(A\). \(\det(A) = \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 2 + 2 = 4.\)
Donc \(A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ -3 & 1 & 3 \end{pmatrix}\)
Calcul de l’inverse par la méthode de Gauss-Jordan
Soit une matrice \(A \in M_n(\mathbf{K})\) inversible. Pour amener \(A\) à une forme échelonnée réduite nous appliquons à la matrice \(A\) des opérations élémentaires sur les lignes. Cependant, une opération élémentaire sur les lignes de \(A\) correspond à multiplier à gauche la matrice \(A\) par une matrice élémentaire. On suppose que nous avons besoin de \(k\) opérations élémentaires afin d’amener \(A\) à sa forme échelonnée réduite, qui dans le cas d’une matrice carrée correspond simplement à la matrice identité. Dans ce cas nous multiplions \(A\) par \(k\) matrices élémentaires:
\[E_1E_2\dots E_k A = I_n.\]Puisque la matrice est inversible nous pouvons multiplier les deux côtés par \(A^{-1}\).
\[E_1E_2\dots E_k AA^{-1} = I_nA^{-1} \Leftrightarrow E_1E_2\dots E_k I_n = A^{-1}.\]Ceci veut dire qu’en appliquant ces mêmes opérations élémentaires à la matrice identité, nous obtenons directement la matrice inverse. L’idée est alors de commencer par une matrice de la forme \(AI_n\) et de la transformer à l’aide d’opérations élémentaire à une forme \(I_nB\). Dans ce cas \(B = A^{-1}\).
Exemple. Calculer l’inverse de la matrice \(A = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)
On commence par créer la matrice \(A | I_3 = \left( \begin{array}{cccccc} 2 & -4 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 1 &0 &1 & 0\\ 4 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\)
En effectuant ensuite des opérations élémentaires sur cette matrice nous essayons de la ramener sous la forme \(I_3B\), où selon la théorie, la matrice \(B\) sera la matrice \(A^{-1}\) recherchée.
On commence par l’opération \(L_2 \leftarrow L_2 - L_1\):
\[\left( \begin{array}{cccccc} 2 & -4 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 4 & -3 &-1 &1 & 0\\ 4 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\]On applique ensuite l’opération \(L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1\):
\[\left( \begin{array}{cccccc} 2 & -4 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 4 & -3 &-1 &1 & 0\\ 0 & 9 & -7 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right)\]On fait \(L_3 \leftarrow L_3 - \frac{9}{4}L_2\):
\[\left( \begin{array}{cccccc} 2 & -4 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 4 & -3 &-1 &1 & 0\\ 0 & 0 & -1/4 & 1/4 & -9/4 & 1 \end{array} \right)\]\(L_3 \leftarrow - 4L_3\):
\[\left( \begin{array}{cccccc} 2 & -4 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 4 & -3 &-1 &1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 9 & -4 \end{array} \right)\]\(L_2 \leftarrow L_2 + 3L_3\):
\[\left( \begin{array}{cccccc} 2 & -4 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0 &-4 &28 & -12\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 9 & -4 \end{array} \right)\]\(L_1 \leftarrow L_1 - 4L_3\):
\[\left( \begin{array}{cccccc} 2 & -4 & 0 & 5 & -36 & 16\\ 0 & 4 & 0 &-4 &28 & -12\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 9 & -4 \end{array} \right)\]\(L_1 \leftarrow L_1 + L_2\):
\[\left( \begin{array}{cccccc} 2 & 0 & 0 & 1 & -8 & 4\\ 0 & 4 & 0 &-4 &28 & -12\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 9 & -4 \end{array} \right)\]\(L_2 \leftarrow \frac{1}{4}L_2\):
\[\left( \begin{array}{cccccc} 2 & 0 & 0 & 1 & -8 & 4\\ 0 & 1 & 0 &-1&7 & -3\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 9 & -4 \end{array} \right)\]\(L_1 \leftarrow \frac{1}{2}L_1\):
\[\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 1/2 & -4 & 2\\ 0 & 1 & 0 &-1 &7 & -3\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 9 & -4 \end{array} \right),\]donc on obtient finalement
\[A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 1/2 & -4 & 2\\ -1 &7 & -3\\ -1 & 9 & -4 \end{array} \right)\]