Entiers, changements de bases

Rappels sur l’exponentielle et le logarithme

Simplifier les expressions suivantes :

1. \(a^3\times a^4\).
2. \((a^3)^4\).
3. \(a^2 \times \frac{1}{a^3}\).
4. \(6^6 \times \left(\frac{1}{3}\right)^6\).
5. \(\log_a a^{10}\).
6. \(\log_2 64\).
7. \(\log_2 a + \log_4 a\).
8. \(a^{\log_a 11}\).

Conversions de base

Faire les conversions de bases suivants :

1. \((101010)_2\) en base 10.
2. \((1021)_3\) en base 10.
3. \((483)_{10}\) en binaire, puis en ternaire.
4. \((111100011)_2\) en hexadécimal.
5. \((A31B)_{16}\) en base 2.
6. \((10212)_3\) en base 9.

Calculer, sans passer par la base 10, les expressions suivantes :

1. \((102013)_4 + (1)_4\).
2. \((102013)_4 \times (4)_{10}\).
3. \((102013)_4 \div (4)_{12}\).
4. \((101011)_2 + (2A)_{16}\).
5. \((10110)_2 + (111)_2\).
6. \((10110)_2 \times (101)_2\).
7. \(\bigl((100)_2\bigr)^4\).

Propriétés des représentations en base \(b\)

1. Quel est le nombre le plus grand que l’on puisse représenter avec \(2\) chiffres binaires ? Et avec \(3, 4, \dots\) ? Et en général avec \(n\) chiffres ?
2. Pour un entier \(m\) quelconque, combien de chiffres binaires faut-il pour le représenter ?
3. Généraliser à une base \(b\) quelconque.
4. Sans effectuer la conversion, dire combien de chiffres binaires il faut pour représenter le nombre quarante-deux.
5. Combien faut-il de chiffres hexadécimaux pour représenter le nombre quarante-deux ?